Relaciones lineales y cuadráticas

A una relación de dependencia entre dos variables numéricas "x" e "y", de forma que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda se conoce como función. Se utilizan las funciones para describir relaciones cuantitativas entre magnitudes muy diversas, por ejemplo: 

• La relación entre distancia y el tiempo que tarda en recorrerse.
• Los gramos de harina necesarios según el numero de pasteles que se desean cocinar. 
• La producción de huevos en relación con el número de gallinas de una granja.

Relaciones lineales

La expresión general de las relaciones lineales es: 

• El coeficiente m recibe el nombre de pendiente y en la gráfica de la ecuación mide la inclinación de la recta:
• Cuanto mayor sea m, mayor sera la inclinación de la recta.
• Si m > 0, la recta es creciente
• Si m < 0, la recta es decreciente
• Si m = 0, es constante
• La ordenada al origen, es la ordenada del punto donde la recta corta el eje "y".

¿En que consiste la dependencia lineal?

Si se tienen dos magnitudes directamente proporcionales: x e y, tales que y = mx, se dice que y depende linealmente de x.

Relaciones cuadráticas

Las relaciones cuadráticas son polinomios de grado 2. Su expresión algebraica general es:

donde "a" no puede ser 0.

Para obtener la representación gráfica de una relación cuadrática, debemos construir una tabla de valores y, después ubicar las coordenadas obtenidas en un sistema de coordenadas cartesianas. 

El gráfico de una relación cuadrática de la forma y=ax² es una parábola con el vértice en el origen (0,0), considera las siguientes características de sus gráficas: 

• Si a > 0, la parábola representa un mínimo en su vértice y sus ramas están dirigidas hacia arriba.
• Si a < 0, la parábola representa un máximo en su vértice y las ramas están dirigidas hacia abajo.
• Cuanto mayor es el valor absoluto de "a", menor es la abertura de las ramas de la parábola.

Si se tiene una ecuación en la que la variable esta elevada al cuadrado, se trata de una función cuadrática, con la forma:

• Su gráfica es una parábola 
• para hallar el valor de "x" se usa la formula general.

ACTIVIDAD

Aplica los diferentes procedimientos que has aprendido para resolver relaciones lineales o cuadráticas y resuelve los siguientes problemas: 

1. Juan recibe mensualmente de sus papas 80 pesos para sus gastos. Además cuatro veces al mes lava el coche de la vecina, quien le paga 50 pesos por cada lavada. Juan divide sus gasto mensuales de la siguiente manera: tres decimas partes para transporte, una cuarta parte para comidas fuera de casa, una quinta parte para paseos y la otra cuarta parte para ahorrar. ¿Cuánto ahorra mensualmente?
2. Mariana acostumbra consumir sus pastillas de menta de un frasco completo de la siguiente manera: el primer día se toma la mitad, el segundo día un tercio, el tercer día un doceavo y el cuarto día las ultimas cuatro pastillas. ¿Cuántas pastillas tiene en total el frasco?
3. El auto "x" corre a 120 km/h y otro auto "y" a 90 km/h. Si ambos salen juntos a velocidad constante, ¿a que distancia estará "x" de "y" después de dos horas?
4. Las ganancias mensuales con respecto a la venta por unidad de relojes en una tienda están dadas por la ecuación y = 180x - x² . ¿Cuál será la máxima ganancia? 
5. En uno de los platos de la balanza se ha puesto una pieza de queso y en el otro 3/4 del mismo queso y además una pesa de 3/4 de kilogramo. Si la balanza esta en equilibrio. ¿Cuánto pesa la pieza de queso?