Proporcionalidad directa e inversa

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes en la que, cuando una magnitud cambia la otra también lo hace, por lo que tenemos dos tipos:

Proporcionalidad directa

Se produce cuando una magnitud aumenta o disminuye y el otro valor también lo hace en igual proporción. Los problemas o situaciones de proporcionalidad directa se resuelven utilizando lo que se conoce como "Regla de Tres" y se puede entender de la siguiente manera: 

Para entender la aplicación de la proporcionalidad directa en problemas así como su resolución, observa el siguiente ejemplo:

• Si 4 libros cuestan $8, ¿cuánto costarán 15 libros?

analizando el problema tenemos que se tratan de dos magnitudes, libros y precio y al mismo tiempo si incrementan la cantidad de libros por lo tanto incrementará el precio de estos por lo que se trata de una relación de proporcionalidad directa, y establecemos: 

aplicando lo anterior mostrado en el esquema tenemos: 

resolviendo la regla de tres tenemos: 

por lo tanto por 15 libros se pagarían $30.

Calculo de la constante de proporcionalidad (directa)

En la relación de proporcionalidad directa, la constante de proporcionalidad se obtiene dividiendo el valor de "y" sobre el de "x" y se expresa y/x = k. Para obtener los valores de "y" cuando "x" varia, se obtiene y = kx.
Observa los siguientes ejemplos para entender el calculo de la constante de proporcionalidad:

• Se tiene la siguiente tabla con una relación de proporcionalidad directa. Encuentra la constante de proporcionalidad: 
  

al mantener una relación de proporcionalidad directa, observamos lo siguiente: 

• Completa la siguiente tabla tomando en cuenta la constante de proporcionalidad 
  

para llenar la tabla anterior, es necesario tomar en cuenta la constante de proporcionalidad que es 3.2, por lo tanto se entiende que al dividir cualquier valor de "y" sobre "x" debemos obtener ese resultado:

para encontrar el valor de la interrogante lo entendemos como, ¿que numero divida a 9.6 para obtener 3.2 como resultado? y utilizamos: 

utilizamos el mismo procedimientos para la obtención de los valores faltantes y tenemos: 

Proporcionalidad inversa

Se produce cuando una magnitud aumenta y la otra disminuye de la misma forma. De este modo, si una se duplica, la otra se reduce a la mitad. Los problemas o situaciones de proporcionalidad inversa se resuelven utilizando lo que se conoce como "Regla de tres inversa" y se puede entender de la siguiente manera: 

Para entender la aplicación de la proporcionalidad inversa en problemas así como su resolución, observa el siguiente ejemplo:

• 4 hombres hacen una obra en 12 días. ¿en cuántos días podrían hacer la obra 7 hombres?

analizando el problema reconocemos dos magnitudes la cantidad de hombres y los días, observamos que entre mas hombres trabajen en una obra menos días se tardaran y viceversa entre menos hombres trabajen en una obra mas días se tardaran en terminar, por lo tanto se trata de proporcionalidad inversa y establecemos lo siguiente: 

resolviendo la regla de tres tenemos: 

por lo tanto 7 hombres harán la obra en aproximadamente 6 días y medio

Calculo de la constante de proporcionalidad (inversa)

En la relación de proporcionalidad inversa, la constante de proporcionalidad se obtiene multiplicando el valor de "x" por el de "y" y se expresa xy = k. Para obtener los valores de "y" cuando "x" varia, se obtiene y = k⁄x.

Observa los siguientes ejemplos para entender el calculo de la constante de proporcionalidad:

• La siguiente tabla muestra la relación que permite conocer el numero de mangueras que se requieren para llenar la alberca en tres días, encuentra la constante de proporcionalidad: 
  

Al observar los datos de la tabla anterior, nos damos cuenta que se trata de una relación de proporcionalidad inversa y por lo tanto se puede deducir lo siguiente: 

• Completa de tabla de relación entre la cantidad de mangueras y los días en llenar una alberca: 
  

para llenar la tabla anterior es necesario tomar en cuenta la constante de proporcionalidad que es 24, por lo tanto se entiende que al multiplicar los dos factores nos debe dar ese resultado: 

para encontrar el valor de la interrogante, lo entendemos como ¿qué número multiplicado por 12 nos da como resultado 24?, para encontrarlo utilizamos la operación inversa de la multiplicación que es la división y tenemos: 

el mismo procedimiento aplicamos para los faltantes valores y tenemos:

¿Cómo reconocer cuando es proporcionalidad directa o inversa?

En un problema o en alguna situación al identificar las dos magnitudes el propio contexto define que tipo de proporcionalidad es, lo importante esta en trasladarlo a un contexto cotidiano o de la vida real y observar como cambia una magnitud si la otra la modificas, por ejemplo, si voy a la tienda y compro 2 kilos de limones por 24 pesos y regreso nuevamente a la tienda pero ahora por 4 kilos, como el kilo de limones lo aumente al doble entonces el precio a pagar también aumentará al doble en ese contexto se trata de una relación de proporcionalidad directa, sin embargo, si quiero pintar una pared y contrato a un pintor se tardaría 2 días, pero si contrato a dos pintores como los pintores son al doble entonces los días en tardarse será de 1 día ya que al duplicar la cantidad de pintores los días en tardarse serán de la mitad, en este contexto se trata de una relación de proporcionalidad inversa. 

Esto quiere decir que...

• Si las dos magnitudes cambian (aumentan o disminuyen) en la misma proporción se trata de una relación de proporcionalidad directa.

• Cuando una magnitud aumenta y la otra disminuye o si una disminuye y la otra aumenta se trata de una relación de proporcionalidad inversa.

ACTIVIDADES: 

1. Resuelve los siguientes problemas de proporcionalidad directa:
• Si 4 libros cuestan $20.00, ¿cuánto costarán 3 docenas de libros?
• Si una vara de 2.15 m de longitud da una sombra de 6.45 m, ¿cuál sera la altura de una torre cuya sombra, a la misma hora, es de 51 m?
• Si 1/2 docena de una mercancía cuestan $14.50, ¿cuánto costaran 5 docenas de la misma mercancía?
• Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros.¿Cuál será la capacidad de los 3/8 del mismo estaque?
• Las sombras que proyecta una persona a determinadas horas del día son directamente proporcionales, es decir, cuanto mas alta es la persona, mas larga es la sombra. ¿Cuánto mide un árbol que proyecta una sombra de 3.5 m si la sombra de un poste de 1.2 m de alto proyecta una sombra de 2 m?
2. Resuelve los siguientes problemas de proporcionalidad inversa:
• Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Si hubiera trabajado una hora menos al día, ¿en cuántos días habrían terminado la obra?
• 9 hombres pueden hacer una obra en 5 días. ¿Cuántos hombres más harían falta para hacer la obra en un día?
• A la velocidad de 30 kms por hora un automóvil emplea 8 1⁄4 horas en ir de una ciudad a otra. ¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido triple?
• Una lancha tarda 3 horas en ir de la playa a una isla, navegando a 15 nudos (medida de velocidad utilizada en navegación) por hora de manera constante. ¿Cuanto tiempo se tardaría si la velocidad fuera de 18 nudos por hora?
• Un equipo de 20 campistas lleva víveres para 21 días. Si 6 personas del equipo renuncian al campamento, ¿para cuántos días alcanzaran los víveres?
3. Completa las siguientes tablas, identifica el tipo de proporcionalidad y encuentra la constante de cada una: