Resolución de problemas aplicando semejanza de triángulos

Aprendizaje previo: Figuras congruentes o semejantes

Problemas de aplicación de semejanza

La semejanza de figuras, en especial la de triángulos, nos ayuda a resolver numerosos problemas originales en situaciones cotidianas como:

• El calculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra
• El calculo de la altura de un objeto utilizando un espejo.

Vamos a resolver un caso de imagen reflejada, para ilustrar la aplicación de la semejanza.

Rosa ve reflejada en un espejo la parte mas alta de un edificio. La altura de sus ojos desde el suelo es de 1.6 m y el espejo se encuentra a una distancia de 3 m de sus pies y a 15.6 m del edificio. ¿Cuál es la altura del edificio?

Para resolver este problema, hacemos primero un esquema con todos los valores: 

Observemos que los dos triángulos son semejantes y, por tanto, sus lados son proporcionales. Escribimos las relaciones de proporcionalidad derivadas de la semejanza entre los dos triángulos

Aplicamos efectos cruzados:

Resolvemos lo anterior como ecuación de primer grado:

Por lo tanto la altura del edificio es igual a 8.32 m

Metodología para resolver problemas aplicando la semejanza:

1. Leer el problema y establecer (de ser necesario) un esquema o representación gráfica.
2. A partir de los datos del problema, asignarlos según corresponda en el esquema.
3. Establecer relación de proporcionalidad
4. Resolver utilizando efectos cruzados y resolver (de ser necesario) aplicando ecuaciones de primer grado
5. Establecer resultado del problema.

ACTIVIDADES:

1. Analiza cada figura y responde las preguntas:
   
• ¿En qué figuras los triángulos formados cumplen con el criterio de congruencia LLL? Indica cuáles son los triángulos.
• ¿En cuáles figuras los triángulos formados no cumplen con el criterio de congruencia de triángulos LLL? Indica cuáles son los triángulos 
2. Resuelve los siguientes problemas aplicando la metodología anterior.
• Un árbol de 14 m de altura próximo a un edificio proyecta una sombra de 24 m a la misma hora. Determina la altura del edificio si su sombra es de 45 m.
• Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 12 m si, en el mismo instante y en el mismo lugar, un árbol de 2 m proyecta una sombra de 1 m. 
• ¿Cuánto mide el árbol en la siguiente figura? 
  
• ¿Cuánto mide la sombra del árbol?