Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza en la resolución de problemas

 Aprendizaje Previo: Figuras congruentes o semejantes

Como se ha visto en temas anteriores, las figuras semejantes son aquellas que tienen la misma forma pero diferente tamaño manteniendo ángulos iguales y lados proporcionales, por otro lado, las figuras congruentes son aquellas cuyos lados y ángulos respectivamente son iguales.

Tanto para semejanza como para congruencia se tienen distintos criterios los cuales permiten determinar cuando una figura es congruente o semejante.

La semejanza funciona muy bien para calcular alturas inalcanzables si sabes reconocer los triángulos semejantes. Una manera de resolver problemas es planteando una ecuación y resolverla por medio de proporciones o bien, de efectos cruzados.

El procedimiento para resolver problemas de aplicación de semejanza o congruencia de triángulos es el siguiente: 

    ⟹ Realiza un esquema o representación grafica del problema a resolver 

    ⟹ Localiza dos triángulos en tu esquema (uno de ellos se debe conocer dos de sus lados)

    ⟹ Establece los lados correspondientes de los dos triángulos.

    ⟹ Plantea una proporción con los lados correspondientes en donde se conozcan tres datos

    ⟹ Resuelve la proporción aplicando efectos cruzados.

Para entender mejor la resolución de estos problemas, observa el siguiente ejemplo donde se aplica el procedimiento anterior.

Una persona observa en un charco el reflejo de un árbol. La distancia que hay de la base del árbol al charco es de 17 m y la distancia a la que sus pies se encuentran del charco es de 3 m. La altura de la persona es de 1.7 m y los ángulos que se forman entre el suelo y lo más alto del árbol y la persona, respectivamente miden lo mismo. Calcula la altura del árbol.

    ⟹ Esquema (representación grafica) del problema 

    ⟹ Localización de dos triángulos en el esquema  

    ⟹ Establecer lados correspondientes 

    ⟹ Plantear una proporción con los lados correspondientes 

    ⟹ Resolver la proporción aplicando efectos cruzados: 

ACTIVIDADES: 

Resuelve los siguientes cuestionamientos aplicando semejanza de triángulos.

1. Una bandera que tiene forma de triangulo rectángulo se ha roto por la línea roja. Encuentra la longitud del corte. 
   
2. Un ratón se sitúa a 6 m de un edificio para intentar ver la parte más alta, sin embargo solo le da para ver unas ventanas a 14 m. El ratón se aleja 12 m mas hasta que consigue ver la parte mas alta. Calcula la altura del edificio. 
3. Cerca de la casa de Roció hay un árbol que esta en riesgo de caer a causa de las lluvias. Calcula la altura del árbol con los siguientes datos: 
   
4. ¿Cuánto mide el ancho del lago como el que aparece en la siguiente figura si solo se conocen los siguientes datos? 
   
5. ¿Cuál es la altura del asta bandera? 
   
6. Calcula las dimensiones del rectángulo en la siguiente figura. 
   
7. Calcula el valor de "x" en la siguiente imagen: 
   
8. Un grupo de ingenieros topógrafos necesitan medir el ancho de un rio y para ello colocaron postes en los puntos marcados con las letras como se observa en la siguiente imagen. ¿Cuánto mide el ancho del rio, es decir, cual es la distancia entre los postes P y M?